Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:
TIPOS DE SECCIONES CONICAS:
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
LA ELIPSE
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolucion por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
También podemos decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
*Focos
Son los puntos fijos F y F'.
* Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
*Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'
*Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
EJEMPLOS:
LA HIPÉRBOLA
la hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.mente y consta de dos ramas separadas.
También podemos decir que la Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante
Elementos de la Hipérbola:
EJEMPLO:
LA PARÁBOLA
La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
También podemos decir que la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la Parábola
*Foco
Es el punto fijo F.Directriz
*Directriz
Es la recta fija d.
*Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
*Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
*Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
*Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
*Foco
Es el punto fijo F.Directriz
*Directriz
Es la recta fija d.
*Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
*Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
*Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
*Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
EJEMPLO:
http://aprendamosdeseccionesconicas.blogspot.com/
CIRCUNFERENCIA
la circunferencia es la seccion producida por un plano perpendicular al eje.También podemos llamar circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro la circunferencia es un caso particular de elipse.
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA: (x-a)2 +( y-b)2 = r2
EJERCICIOS
|
Hallar ecuaciones de circunferencias
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Hallar el centro y el radio de una circunferencia
|
Posición relativa de una recta respecto de unas circunferencias
|
|
Hallar las rectas tangentes a una circunferencia
|
Hallar las ecuaciones reducidas de unas elipses
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Hallar la ecuación reducida de una hipérbola
|
|
Hallar la ecuación que verifican unos puntos determinados del plano
|
Hallar las ecuaciones de unas parábolass
|
Clasificar unas cónicas conocidas sus ecuaciones
|
Solución
a) La ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r es (x - a)2
+ (y - b)2
= r.
Así, la ecuación de la circunferencia pedida es (x - 2)2
+ (y - 5)2
= 49.
Realizando operaciones queda x2
+ y2
- 4x - 10y - 20 = 0.
b) El centro de la circunferencia es el punto medio del diámetro de extremos (8, -2) y (2, 6), es
decir, ⎛ ⎞ + −+
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
82 26
2 2 , = (5, 2)
El radio es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia, por ejemplo al (8, -2),
es decir, r = d((8, -2), (5, 2)) = = 2 2 (8 -5) +(-2 -2) 9+16 = 5.
Por tanto, la ecuación de la circunferencia es (x - 5)2
+ (y - 2)2
= 25 y realizando operaciones
x2
+ y2
- 10x - 4y + 4 = 0.
2. Calcular el centro y el radio de la circunferencia 2x2
+ 2y2
+ 3x + 5y - 5 = 0.
Solución
Escribiendo la ecuación de la forma 2 22 ( - ) +( - ) xa yb r = se obtiene que el centro es (a, b) y el
radio r.
Pasando el término independiente de la ecuación 2x2
+ 2y2
+ 3x + 5y - 5 = 0 al segundo miembro
y dividiendo por 2 queda 2 2 3 55
2 22 xy x y ++ + = .
Agrupando términos hasta obtener cuadrados perfectos queda:
22 2 2 3 55 3 55
2 22 2 22 x y x y x xy y + + + = ⇔ + ++ = ⇔
2 2 22 3 9 5 25 5 3 5 37 + ++ + ++
4 16 4 16 2 4 4 8 x y xy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⇔ − −=⇔ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Por tanto, el centro es el punto ⎛ ⎞
− − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
3 5
4 4 , y el radio es igual a 37 1 37
8 22 =
3. Decir la posición relativa de la recta y = 3 - 2x respecto de las circunferencias:
a) x2
+ y2
- 2x + 3y + 2 = 0
b) x2
+ y2
- 3x + 4y - 3 = 0
c) 2x2
+ 2y2
+ 3x + 5y - 5 = 0
Solución
Si la recta corta a la circunferencia en dos, uno o ningún punto será respectivamente secante,
tangente o exterior a dicha circunferencia.
Como los puntos de corte pertenecen tanto a la recta como a la circunferencia, para calcularlos hay
que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones.
a) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2x en la de la circunferencia y realizando
operaciones se tiene:
x2
+ (3 - 2x)2
- 2x + 3(3 - 2x) + 2 = 0 ⇔ x2
+ 9 - 12x + 4x2
- 2x + 9 - 6x + 2 = 0 ⇔
⇔ 5x2
- 20x + 20 = 0 ⇔ x2
- 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2
= 0
La única solución es x = 2, y sustituyendo en y = 3 - 2x, se obtiene y = -1.
Así, la recta corta a la circunferencia en un único punto, el (2, -1), y por tanto, la recta es tangente
a la circunferencia.
b) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2x en la de la circunferencia y realizando
operaciones se tiene:
x2
+ (3 - 2x)2
- 3x + 4(3 - 2x) - 3 = 0 ⇔ x2
+ 9 - 12x + 4x2
- 3x + 12 - 8x - 3 = 0 ⇔
⇔ 5x2
- 23x + 18 = 0 ⇔
⎧ = ⎪ ±− ± ⎪ = == ⎨
⎪ = ⎪⎩
36 18
23 529 360 23 13 10 5
10 10 10 1
10
x
Al haber dos soluciones, hay dos puntos de corte y, por tanto, la recta es secante a la
circunferencia.
c) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2x en la ecuación de la circunferencia y realizando
operaciones se tiene:
2x2 + 2(3 - 2x)2 + 3x + 5(3 - 2x) - 5 = 0 ⇔ 2x2
+ 2(9 - 12x + 4x2
) + 3x + 15 - 10x - 5 = 0 ⇔
⇔ 2x2 + 18 - 24x + 8x2 - 7x + 10 = 0 ⇔ 10x2 - 31x + 28 = 0 ⇔ ± − = 31 961 1120
20
x
Al no existir solución, por ser el discriminante negativo, no hay puntos de corte y, por tanto, la recta
es exterior a la circunferencia.
4. Dada la circunferencia de ecuación x2
+ y2
- 12x + 10y - 11 = 0, calcular las rectas tangentes a
ella que son paralelas a la recta x + y + 4 = 0.
Solución
La ecuación de cualquier recta paralela a x + y + 4 = 0 se puede escribir de la forma x + y + k = 0.
Para que sea tangente a la circunferencia x2
+ y2
- 12x + 10y - 11 = 0, el sistema formado por
ambas ecuaciones deberá tener una única solución.
Sustituyendo y = -k - x en la ecuación de la circunferencia y realizando operaciones se tiene:
x2
+ (-k - x)2
- 12x + 10(-k - x) - 11 = 0 ⇔ x2
+ k2
+ 2kx + x2
- 12x - 10k - 10x - 11 = 0 ⇔
⇔ 2x2
+ (2k - 22) x + k2
- 10k - 11 = 0
Para que esta ecuación de segundo grado tenga una única solución es necesario que su
discriminante sea nulo, es decir, (2k - 22)2
- 4·2 (k2
- 10k - 11) = 0.
Realizando operaciones se obtiene la ecuación k2
+ 2k - 143 = 0 que tiene por soluciones:
2 4 572 2 24 11
2 2 13
k −± + −± ⎧ = == ⎨
⎩ −
Por tanto, las rectas pedidas son x + y + 11 = 0 y x + y - 13 = 0.
5. Hallar la ecuación reducida de la elipse que verifica:
a) pasa por (25, 0) y la distancia semifocal es 7.
b) pasa por (4, 1) y por (0, 3).
Solución
La ecuación reducida de una elipse es
2 2
2 2 1 x y
a b
+ = siendo c la distancia
semifocal, a el semieje mayor, b el
semieje menor y 2b = 2 2 a c − .
a) El punto (25, 0) de la elipse es el punto de corte con el eje de abscisas, por tanto, a = 25.
Al ser la distancia semifocal c = 7, se tiene que 2b = 2 2 a c − = 252 - 72 = 625 - 49 = 576.
Por tanto, la ecuación de la elipse es
2 2
1
625 576
x y + = .
b) El punto (0, 3) de la elipse es el punto de corte con el eje de ordenadas, por tanto, b = 3. Así la
ecuación de la elipse es
2 2
2 1
9
x y
a
+ = .
Imponiendo que ha de pasar por (4, 1) se tiene 2
16 1 1
a 9
+ = y despejando a2
se tiene, a2 = 18.
Por tanto, la ecuación de la elipse es
2 2
1
18 9
x y + = .
6. Hallar la ecuación reducida de la hipérbola con focos en (7, 0) y (-7, 0) y que pasa por el punto
(4, 0)
Solución
La ecuación reducida de la hipérbola es
2 2
2 2 1 x y
a b − =
El punto (4, 0) de la hipérbola es el punto de corte con el eje de abscisas, por tanto, a = 4. Al ser la
distancia semifocal c = 7, se tiene que 2b = 2 2 c a − = 72 - 42 = 49 - 16 = 33.
Por tanto, la ecuación de la hipérbola es
2 2
1
16 33
x y − = .
7. Hallar la ecuación que verifican los puntos del plano que equidistan del punto (3, 0) y de la recta
x = -4.
Solución
Los puntos buscados forman una parábola de foco el punto F = (3, 0) y directriz la recta x = -4.
Como el punto y la recta no están a la misma distancia del origen es necesario partir de la igualdad
d(X, F) = d(X, recta directriz), es decir, ( )2 2 x y - 3 + = x + 4. Elevando al cuadrado y realizando
operaciones, se obtiene: 2 22 2 x-x y x x y x 6 9 8 16 14 7 ++ = + + ⇔ = +
NOTA: Este ejercicio también se puede resolver sin considerar “a priori” que la ecuación
corresponde a una parábola, de la siguiente forma:
Los puntos (x, y) que están a la misma distancia de (3, 0) que de la recta r de ecuación x = -4
verifican d((x, y), (3, 0)) = d((x, y), r) , es decir, ( )2 2 x y - 3 + = x + 4.
Realizando operaciones, se obtiene 2 y x = 14 7+ , ecuación que corresponde a una parábola de eje
horizontal.
8. Hallar las ecuaciones de las parábolas que verifican:
a) su directriz es y = -6 y su foco (0, 6).
b) su vértice (2, 0) y su foco (6, 0).
Solución
a) Como el foco y la directriz están a la misma distancia del origen se puede utilizar la ecuación
reducida que, al ser la directriz horizontal, es de la forma x2 = 2py con p = 2·6 = 12. Por tanto, su
ecuación es x2 = 24y.
b) Como el vértice no coincide con el origen de coordenadas se parte
de igualdad: d(X, F) = d(X, recta directriz).
Para calcular la directriz hay que tener en cuenta que la distancia
de vértice, V = (2, 0), al foco, F = (6, 0), es de 4 unidades. Como
la distancia de vértice a la directriz es la misma que la del vértice al
foco, se concluye que la directriz es la recta x = -2.
Teniendo en cuenta la igualdad d(X, F) = d(X, recta directriz), se tiene, ( )2 2 x y - 6 + = x + 2.
Elevando al cuadrado y realizando operaciones, se obtiene:
2 22 2 x- x y x x y x 12 36 4 4 16 32
9. Clasificar las cónicas que tienen las siguientes ecuaciones:
a) 2 2 xy xy + + + += 2 6 10
b) 2 2 2 2 4 4 19 0 x y xy + −++=
c) x
2 + 4y
2
= 100
d) 8x
2 - 3y
2
= 120
e) y
2
= 36x
f) y = x
2
- 2x + 3
g) x = -3y
2
+ y + 5
Solución
a) Para comprobar si la ecuación 2 2 xy xy + + + += 2 6 10 corresponde a una circunferencia, se
forman cuadrados perfectos para determinar su centro y su radio.
2 2 xy xy + + + += 2 6 10 ⇔ () () 2 2
x y + −+ + −+ = 1 1 3 91 0 ⇔ ( )( ) 2 2
x y + ++ = 1 39
En efecto, la ecuación corresponde a una circunferencia de centro (-1, -3) y radio 3.
b) La ecuación 2 2 2 2 4 4 19 0 x y xy + −++= puede corresponder a una circunferencia, veamos si es
así dividiéndola primero por 2 y formando luego cuadrados perfectos.
2 2 19 22 0
2 xy xy +− + + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 19 22 0
2 x xy y − ++ += ⇔
⇔ ( ) () 2 2 19 11 11 0
2 x y − −+ + −+ = ⇔ ( )( ) 2 2 15 1 1
2 x y − − ++ =
Esta ecuación no corresponde a ninguna cónica, es más, no existe ningún punto del plano que la
verifique, ya que la suma de cuadrados no puede ser igual a un número negativo.
c) Como la ecuación x
2 + 4y
2
= 100 tiene los coeficientes de x
2 y de y
2
distintos, pero del mismo
signo, puede corresponder a la ecuación reducida de una elipse,
2 2
2 2 1 x y
a b
+ = .
Para comprobarlo, se divide la ecuación por 100 quedando
2 2
1
100 25
x y + = , que corresponde a la
ecuación reducida de una elipse de semiejes 10 y 5.
d) Como la ecuación 8x
2 - 3y
2
= 120 tiene los coeficientes de x
2 y de y
2
distintos y de signo
contrario, puede corresponder a la ecuación reducida de una hipérbola,
2 2
2 2 1 x y
a b − = .
Para comprobarlo, se divide la ecuación por 120 quedando
2 2
1
15 40
x y − = .
En efecto, la ecuación corresponde a la ecuación reducida de una hipérbola.
e) La ecuación y
2
= 36x corresponde a la ecuación reducida de una parábola del tipo y
2
= 2px,
con p = 18.
Por tanto, corresponde a una parábola de foco el punto F = (9, 0) y directriz la recta vertical x = -
9.
f) La ecuación y = x
2
- 2x + 3 corresponde a una parábola de eje vertical x =
2
2
= 1 y ramas
hacia arriba, ya que el coeficiente de x
2 es positivo.
g) La ecuación x = -3y
2
+ y + 5 corresponde a una parábola de eje horizontal y =
1
6
−
− =
1
6 y
ramas hacia la izquierda, ya que el coeficiente de y
2 es negativo.
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